Euklidska ravnina (ili kraće ravnina) je skup M čije elemente nazivamo točkama, a neke njezine istaknute podskupove zovemo pravcima. Ta dva tipa objekata zadovoljavaju slijedeće aksiome.

 

I.                    AKSIOMI INCIDENCIJE (PRIPADANJA)

 

1.       Za svake dvije različite točke A, B ∈ M postoji jedinstven pravac iz M kojemu one pripadaju. Taj se pravac označava sa AB.

2.       Na svakom pravcu leže bar tri različite točke. Postoje tri nekolinearne točke, tj. tri takve točke koje ne leže na jednom te istom pravcu.

 

 

 

 

II.                  AKSIOMI UREĐAJA

 

1.       Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva međusobno suprotna linearna uređaja.

Aksiom  II₁ omogućava da se definira pojam ’’ležati između’’, te pomoću njega pojam dužine i polupravca.

 

Neka su A, B ∈ M različite točke ravnine. Onda prema I₁ postoji jedinstveni pravac na kojem one leže. Za točku t ∈ M, za koju vrijedi T ∈ AB,  A ≤ ₁ T≤ ₁ B   V  A ≤ ₂ T ≤ ₂ B , kažemo da leži na pravcu AB.

Skup { t ∈ AB | A ≤ ₁ T≤ ₁ B   V  A ≤ ₂ T ≤ ₂ B} nazivamo dužinom AB i označavamo AB. Točke A i B nazivamo krajevima ili rubnim točkama dužine AB.

Polupravac kojemu je A početna točka (ili vrh) a  prolazi točkom B ≠ A je skup točaka T pravca AB za koje vrijedi A ≤ ₁ T≤ ₁ B   V  A ≤ ₁ B ≤ ₁ T.

Polupravac s vrhom A označavat ćemo s A_X ( x = smjer).

 

Za skup K ⊆ M kažemo da je konveksan ako vrijedi A, B ∈ K à AB ⊆ K.

 

Neka je S ⊆ M bilo koji skup. Konveksna ljuska od S (ozn. convS)  je presjek svih konveksnih skupova koji sadrže S. To je ujedno i najmanji (u smislu inkluzije)  konveksan skup koji sadrži S.

Neka su A, B, C ∈ M nekolinearne točke. Tada conv{A, B, C} nazivamo trokut s vrhovima A, B, C, a dužine AB, BC, AC nazivamo stranicama trokuta.

Trokut označavamo s △ABC.

 

2.       Ako pravac sječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici onda on siječe bar još jednu stranicu.

  

 

III.                 AKSIOMI METRIKE

 

Postoji funkcija d: M ^x M => ℝ i nazivamo je metrika (ili razdaljinska funkcija na M ako vrijedi:

1.)     d(A, B) ≥ 0 , ∀A, B ∈ M

d(A, B) = 0   <=> A =B

2.)     d(A, B) = d(B, A),  ∀A, B ∈ M

3.)     d(A, B) ≤  d(A, C) + d(B, C), ∀A, B, C ∈ M i pri tome znak jednakosti vrijedi akko je C ∈ AB

4.)     Za svaki polupravac O_x s vrhom u točki O i za svaki realni broj a ∈ℝ postoji jedinstvena točka T na tom polupravcu takva da je d(O, T) = a.

 

Broj d(A, B) zovemo duljinom dužine AB, ili udaljenost točaka A i B. Ponekad se taj broj označava i sa |AB|

 

                DEF.1.  Za f : M  => M kažemo da je izometrija ako vrijedi 

                                                   d(f(A), f(B)) = d(A, B), ∀ A, B ∈ M.

                               Odmah se vidi da je svaka izometrija injekcija jer je:

f(A) = f(B)  =>  d(f(A), f(B)) = 0   =>   d(A, B) = 0   =>   A = B

                              

                               Primjeri izometrije : translacija, rotacija, identiteta (id_M : M x M)

 

IV.                AKSIOMI

 

1.      Za svaki pravac p postoji jedinstvena izometrija s_p različita od identitete za koju vrijedi s_p(T) = T,  ∀T ∈ P. Izometrija s_p zove se osna simetrija (ili zrcaljenje) obzirom na pravac p. Pravac p naziva se os simetrije.

2.       Za svaki par (O_x, O_y) polupravaca s vrhom O postoji bar jedan pravac p takav da je      s_p(O_x) = O_y).

                                                                                  

                                                                                      

                 Neka je u ravnini M dan pravac p. Definiramo binarnu relaciju ρ na M\p sa

AρB <=> AB ∩ p = ∅

 

                  Prop.1.  Relacija ρ je relacija ekvivalencije koja M\p rastavlja  na dvije klase ekvivalencije koje se zovu  poluravnine definirane sa p.

                  

Na skupu ℝ definirana je metrika d : ℝ x ℝ => ℝ na slijeći način: d(x, y) = |x-y|, ∀ x, y ∈ ℝ.

Za pravac kažemo da je orijentiran ako smo na njemu odabrali jednu od dvije relacije uređaja.

Prop.2.  Za svaki orijentirani pravac p i svaku točku O∈p postoji jedinstvena rastuća bijekcija f: p => ℝ za koju je f(O) = 0 i d(A, B) = |f(A) - f(B)| , ∀ A, B ∈ p.

 

Korolar 1.  Za svaki rastući par A, B ∈ M različitih točaka postoji jedinstvena točka C na pravcu AB za koju je d

(A, C) =d(B, C).

Ta točka leži između A i B i zove se polovište dužine  AB.