Za f : M  => M kažemo da je izometrija ako vrijedi 

        d(f(A), f(B)) = d(A, B), ∀ A, B ∈ M.

 

Svaka izometrija je injekcija.

                      

Primjeri izometrije : translacija, rotacija, identiteta (id_M : M x M)

 

Za svaki pravac p postoji jedinstvena izometrija s_p različita od identitete za koju vrijedi s_p(T) = T,  ∀T ∈ P. Izometrija s_p zove se osna simetrija (ili zrcaljenje) obzirom na pravac p. Pravac p naziva se os simetrije.

 

 

 

 

                               Prop. 1. Neka je f : M => M izometrija. Tada vrijedi:

a)       f(AB) = f(A) f(B)

b)       f(O_x) = f(O)_y

c)       slika poluravnine određene pravcem p je poluravnina određena pravcem f(p).

                Prop. 2. Za svaku osnu simetriju s_p vrijedi s_pºs_p = id_M, tj. s_p je involucija¹. Osna simetrija s_p nema drugih fiksnih točaka osim onih na osi p, a poluravninu određenu s p preslika u drugu.Specijalno, s_p je bijekcija.

Prop. 3. Neka su A, B ∈ M , A≠B. Tada postoji jedinstveni pravac p takav da je s_p(A) = B.

 

Prop. 4. Neka su O_x i O_y dva polupravca sa zajedničkom točkom O. Tada postoji jedinstven pravac p, takavda je s_p(O_x)=O_y. taj pravac prolazi vrhom O i zove se simetrala polupravaca O_x i O_y.

 

                TEOREM 1.

Neka su A, B ∈ M dvije različite točke. Skup svih točaka iz M koje su jednako udaljene od A iB je os p jedinstvene osne simetrije koja zamjeni A i B, tj. s_p(A)=B, s_p(B)=A. Taj se pravac zove simetrala dužine AB.

 

      Dokaz

Prema Prop.5. postoji jedinstveni pravac takav da je s_p(A)=B, a prema Prop.4. slijedi da je s_p(B)=A. Ako je T ∈ p, onda je T fiksna točka od s_p, pa je

d(A, T) = d(s_p(A), s_p(B)) = d(B, T).

 

Obrat: Neka je T ∈ M takav da je d(A, T) = d(B, T), te neka je q os simetrije koja zamjenjuje polupravce s početkom u T (Prop. 6.) a sadrži redom točke A i B. tada je s_q(A)=B, a zbog jedinstvenosti slijedi p=q, pa je T ∈ p.

               

                DEF.1. Kažemo da je pravac p okomit (ortogonalan) na pravac q i pišemo p |  q ako je p≠q i s_p(q)=q.

 

                Prop. 5.Kroz svaku točku A∈M prolazi točno jedan pravac okomit na dani pravac p.

 

                TEOREM 2.

                  -  Osnovni teorem o izometrijama -

Svaka izometrija f : M à N je ili osna simetrija ili kompozicija dviju (ili triju) osnih simetrija

                               Tj. svaka izometrija je kompozicija najviše triju osnih simetrija.

 

Korolar 1. Svaka izometrija je bijekcija.