Matematika
Za f : M  => M kažemo da je izometrija ako vrijedi 

        d(f(A), f(B)) = d(A, B), A, B M.

 

Svaka izometrija je injekcija.

                      

Primjeri izometrije : translacija, rotacija, identiteta (idM : M x M)

 

Za svaki pravac p postoji jedinstvena izometrija sp različita od identitete za koju vrijedi sp(T) = T,  T P. Izometrija sp zove se osna simetrija (ili zrcaljenje) obzirom na pravac p. Pravac p naziva se os simetrije.

 

 

 


 

                               Prop. 1. Neka je f : M => M izometrija. Tada vrijedi:

a)       f(AB) = f(A) f(B)

b)       f(Ox) = f(O)y

c)       slika poluravnine određene pravcem p je poluravnina određena pravcem f(p).

                Prop. 2. Za svaku osnu simetriju sp vrijedi spºsp = idM, tj. sp je involucija1. Osna simetrija sp nema drugih fiksnih točaka osim onih na osi p, a poluravninu određenu s p preslika u drugu.Specijalno, sp je bijekcija.

Prop. 3. Neka su A, B M , AB. Tada postoji jedinstveni pravac p takav da je sp(A) = B.

 

Prop. 4. Neka su Ox i Oy dva polupravca sa zajedničkom točkom O. Tada postoji jedinstven pravac p, takavda je sp(Ox)=Oy. taj pravac prolazi vrhom O i zove se simetrala polupravaca Ox i Oy.

 

                TEOREM 1.

Neka su A, B M dvije različite točke. Skup svih točaka iz M koje su jednako udaljene od A iB je os p jedinstvene osne simetrije koja zamjeni A i B, tj. sp(A)=B, sp(B)=A. Taj se pravac zove simetrala dužine AB.

 

      Dokaz

Prema Prop.5. postoji jedinstveni pravac takav da je sp(A)=B, a prema Prop.4. slijedi da je sp(B)=A. Ako je T p, onda je T fiksna točka od sp, pa je

d(A, T) = d(sp(A), sp(B)) = d(B, T).

 

Obrat: Neka je T M takav da je d(A, T) = d(B, T), te neka je q os simetrije koja zamjenjuje polupravce s početkom u T (Prop. 6.) a sadrži redom točke A i B. tada je sq(A)=B, a zbog jedinstvenosti slijedi p=q, pa je T p.

               

                DEF.1. Kažemo da je pravac p okomit (ortogonalan) na pravac q i pišemo p q ako je pq i sp(q)=q.

 

                Prop. 5.Kroz svaku točku AM prolazi točno jedan pravac okomit na dani pravac p.

 

                TEOREM 2.

                  -  Osnovni teorem o izometrijama -

Svaka izometrija f : M à N je ili osna simetrija ili kompozicija dviju (ili triju) osnih simetrija

                               Tj. svaka izometrija je kompozicija najviše triju osnih simetrija.

 

Korolar 1. Svaka izometrija je bijekcija.



(1) Involucija = funkcija koja na kvadrat daje identitetu

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (2)


zdravko ivazović kaže:

0
potrbne instrukcije za testiranje bravara cevara - primena izometrije u cevarstvu
Ja sam slab programer i autocad mi nije poznat ali bravarijom se bavim više godina i potrbno mi je usmerivanje u branši cevarstva.
HVALA na razumevanju.
 
06.06.2010
Glasovi: +7

gost kaže:

0
...
zdravko ima tablice iz kojih sve mozes uraditi sam tako da to moras pogledati i potraziti
 
20.09.2011
Glasovi: +6

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Srijeda, 01 Travanj 2009 11:29)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 246