Niz u skupu S je preslikavanje f: N –> S koje prirodnom broju n pridružuje a_n, element skupa S.

a_{n -} naziva se opći član niza (n-ti član niza)

(an) - označava sam niz.

 

 

 

Primjeri nizova:

Neka je a preslikavanje, a: N −> N

1) a₁=1, a₂=2, a₃=3, a₄=4 ,... tj. a_n = n (opći član niza) je niz prirodnih brojeva

2) a₁=1, a₂=3, a_{3=5, ... tj.} a_n = 2n-1 je niz neparnih prirodnih brojeva

3) a_n = n! 

 

Ovo su primjeri nizova koji su zadani općim članom. Nizovi također mogu biti zadani i pomoću rekurzivnih formula (član niza dobiva određuje se preko svojih prethodnika).

 

Primjer:

 

1) Fibonnacijev niz

Neka je F: N −> N definirano s: F_1=1, F₂=1, F_{n =} F_n-1 + F_n-2

Član Fibonnacijevog niza određuje se na temelju svoja dva prethodnika.

 

2) Aritmetički niz (razlika dva susjedna člana je konstantna)

Niz je  definiran  slijedećom rekurzivnom formulom :

                             a_n=a_n-1 + d (d fiksan realan broj, tj. d=a_n - a_n-1).

Opći član niza aritmetičkog niza može se prikazati i ovom formulom :

                              a_n=a₁ + (n-1)d  , gdje je a₁ prvi član aritmetičkog niza

 

3) Geometrijski niz (kvocijent dva susjedna člana je konstantan)

Niz je definiran slijedećom rekurzivnom formulom:

                  a_n= q * a_n-1 (q je fiksni realan broj različit od nule).

 

Opći član geometrijskog niza može se prikazati i slijedećom formulom:

                  a_n = q^_n-1 * a₁, gdje je a_{1 prvi član geometrijskog niza}, q fiksni realni broj

                                        različit od nule

 

Zbroj prvih n - članova aritmetičkog i geometrijskog niza

 1) aritmetičkog niza dan je formulom:

      S_n = n/2 (a₁ + a_n)

 2) geometrijskog niza dan je formulom:

      S_n=((qⁿ -1) /(q -1)) * a1

 

 

 

Zadatak1:

Tijelo koje se giba niz kosinu prevalilo je u prvoj sekundi put od 2 m, a u svakoj slijedećoj 1.5 m više nego u prethodnoj. Koliki je put tijelo prevalilo nakon 10 sekundi?

Riješenje:

Razlika u putu koje tijelo prevali nakon svake sekunde je ista i iznosi 1.5 m. Iz toga zaključujemo da se radi o aritmetičkom nizu te da je d=1.5. Članovi niza jesu upravo putevi u metrima koje tijelo prevali nakon svake sekunde tj. a₁= 2, a2=a1 + d = 2 + 1.5= 3.5 itd.

Pitanje je koliki je put tjelo prevalilo nakon 10 sekundi tj. zanima nas a_10.

Primjenimo formulu za izračunavanje općeg člana aritmetičkog niza: an= a1 +(n-1)d

Za n=10 i dobijemo: a₁₀ = a₁ + 9*1.5 = 2 + 9 * 1.5= 15.5 metara

 

Zadatak2:

Neka je a_n opći član geometrijskog niza a a₃=8, a₅=32.

Odredite a8.

Riješenje:

Kako je prema formuli:

a₅=a_{4 *} q, te također a₄=a₃ * q

Slijedi da je : a₅=a₃ * q² 

Točnije q= √(32/8)=2.

Kako je a3=a2*q tj. a3=a1*q² 

slijedi da je a1=2. Iz toga slijedi a8=a1 * q^8-1 = 2 * 2⁷  = 2⁸