Logaritamska funkcija je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije tj. vrijedi slijedeće:      

                                  log_a(a^x)=x 

Vrijedi:                  a^log_a^(x)=x. 

Napomena: Kažemo da s f i g inverzne funkcije ako vrijedi f(g(x))=x, g(f(y))=y. 

 

Svojstva logaritamske funkcije: 

1) log_ax=log_ab * log_bx                                                                  

2) log_ab = 1/log_ba                                                                         3) log_a(x * y) = log_ax + log_ay, x,y>0                                                4) log_a(x/y)= log_ax - log_ay, x,y>0                                                    5) log_ax^y = ylog_ax.                                                                                        

6) x^r= a^rlog_a^x , x>0

Dokaz:

Prvo vrijedi da je b=a^log_a^b .                                                          Kako vrijedi za logaritamske funkcije a^log_a^(x)=x,a>0

znači da vrijedi: x= a^log_a^x = b^log_b^x=x, a,b >0

(Uvrstimo umjesto b=a^log_a^b .)                                                       

 a^log_a^x = (a^log_a^{b)^(log}_b^x) = a ^(log_a^{b * log}_b^x)                                                   Iz ovoga slijedi log_ax = log_ab * log_bx                                                         

 

2) 1 = log_aa = /* (prema 1) */ = log_ab * log_ba.                                  Iz ovoga slijedi da je :  1/log_ba = log_ab.                                           

Primjeri: 

1)  log₃x = 1/3 ? x=?

Riješenje:

Vrijedi : 3^log₃^x = 3^1/3.  Prema svojstvu da je   a^log_a^(x)=x slijedi :           x= 3^1/3 = ³√3. 

2) Izračunaj: 2^log₄⁵?

Riješenje:Primjetimo da 2 možemo zapisati kao 4^1/2 (tj. √4) te ćemo na taj način moći primjeniti a^log_a^(x)=x . 2^log₄⁵ = 4^(1/2log₄⁵⁾ = /* primjenimo svojstvo 5) */=  4^log₄^√5 = √5.

3) Izračunaj koliko je :

Riješenje:

    log_1/2log_√525 - log₈log₅√5 =?

Izračunajmo prvo koliko je :   log_√525

log_√525 = log_√55² = 2 log_√55 = 2 log_√5 √5² = 2*2 * log_√5√5 = 2*2=4.

Zatim izračunajmo log₅√5

log₅√5 = log₅5^1/2 =1/2 * log₅5 =1/2.

Sada dakle imamo za izračunati slijedeće:

log_1/2*4 -log₈1/2= log_1/2*2² -log₈2^-1 = 2 log_1/2*2 +1 *log₈2 =

=/* sada primjenjujemo: log_ab = 1/log_ba */

=2 *( 1/log₂2^-1) +1/log₂2³

=2* 1/-1 + 1/3 

= -2 + 1/3 = -5/3. 

4) Izračunaj x ako je: logx =  -1/4 loga -1/4 logb ?

Riješenje:

 logx =  -1/4 loga -1/4 logb =     

  = -1/4 (loga +logb )

  = -1/4 log(a*b) 

    =log(a*b)^-1/4

 Iz čega slijedi da je : x= (a*b)^-1/4 tj. x=1/(⁴√a*b)