MNOGOKUTI

 

FORMULE:

 

Napomena:

n - broj vrhova, stranica ili kuteva

 

Npr. za pravilini osamnaesterokut vrijedi n = 18 jer ima 18 vrhova, stranica i kuteva.

 

DIJAGONALE

1. BROJ DIJAGONALA IZ JEDNOG VRHA

d_n = n - 3

2. UKUPAN BROJ DIJAGONALA

D_n = [(n-3)·n] / 2

 

KUTEVI

1. ZBROJ SVIH UNUTRAŠNJIH KUTEVA

K_n = (n-2)·180°

2. ZBROJ VELIČINA VANJSKIH KUTEVA 

UVIJEK 360º !!!

3. VELIČINA UNUTRAŠNJEG KUTA

β_n = [(n-2)·180°] / n

4. VELIČINA VANJSKOGKUTA

β_n' = 360°/ n

β_n + β_n' = 180°

5. VELIČINA SREDIŠNJEG KUTA

α_n = 360° / n

 

OPSEG PRAVILNOG MNOGOKUTA

o = n · a

OPSEG RAZNOSTRANIČNOG TROKUTA

o = a + b + c

OPSEG JEDNAKOKRAČNOG TROKUTA

o = a + 2b

OPSEG JEDNAKOSTRANIČNOG TROKUTA

o = 3a

OPSEG KVADRATA

o = 4a

OPSEG PRAVOKUTNIKA

o = 2(a+b)

OPSEG ROMBA

o = 4a

OPSEG PARALELOGRAMA

o = 2(a+b)

OPSEG JEDNAKOKRAČNOG TRAPEZA

o = a + 2b + c

 

 

POVRŠINA PRAVILNOG MNOGOKUTA

P_MNOGOKUT = N · P_KARAK.TROKUT    -> N = broj karakterističnih trokuta

POVRŠINA TROKUTA

P = (a·v_a) / 2 = (b·v_b) / 2 = (c·v_c) / 2

POVRŠINA PRAVOKUTNOG TROKUTA

P = (a·b) / 2

POVRŠINA KVADRATA

P = a·a

POVRŠINA PRAVOKUTNIKA

P = a·b

POVRŠINA ROMBA I PARALELOGRAMA

P = a·v_a

POVRŠINA JEDNAKOKRAČNOG TRAPEZA

P = [(a+c)/2] · v

 

ZADACI

 

1. U pravilnom mnogokutu iz jednog vrha moguće je povući 7 dijagonala. Koji je to mnogokut ?

d_n = 7

__________

n = ?

 

d_n = n - 3

7 = n - 3

n = 10

To je desterokut.

 

2. Opseg pravilnog dvanaesterokuta je 37.5 mm. Kolika je duljina njegove stranice ?

o = 37.5 mm

n = 12

_______

a= ?

o = n·a

37.5 = 12 · a / :12

a = 3.125 mm.

Duljina stranice je 3.125 mm.

 

3. Koliko ukupno ima dijagonala mnogokut sa 8 vrhova ?

n = 8

__________

D_n = ?

D_n = [(n-3)·n] / 2

D_n = [(8-3)·8] / 2

D_n = [5·8] / 2

D_n = 20

 

Osmerokut ima 20 dijagonala.

 

4. Odredi zbroj svih unutrašnjih kuteva u pravilnom jedanaesterokutu.

n = 11

_______

K_n = ?

K_n = (n-2) · 180°

K_n = (11-2) · 180°

K_n = 1620°

 

5. Odredi površinu romba, ako je njegov opseg 180 mm, a duljina visine 4.2 cm.

o = 180 mm = 18 cm

v = 4.2 cm

______

P = ?

o = 4 · a

18 = 4 · a /  :4

a = 4.5 cm

 

P = a·v

P = 4.2 · 4.5

P= 18.9 cm²

 

6. Duljine stranica pravokutnog trokuta su redom 6 cm, 8 cm i 10 cm. Odredi duljinu visine tog pravokutnog trokuta.

a = 6 cm

b = 8 cm

c = 10 cm (hipotenuza je najdulja stranica)

________

v = ?

Znamo dvije formule za površinu pravokutnog trokuta:

P = (a·b) / 2     i

P = (c·v) / 2

Izjednačavanjem tih formula dobivamo:

(a·b) / 2 = (c·v) / 2

Množenjem izraza sa 2 i uvrštavanjem numeričkih vrijednosti dobivamo:

6·8 = 10·v

v = 4.8 cm 

 

7. Odredi veličinu unutrašnjeg kuta mnogokuta, kojem središnji kut ima veličinu 40°.

α_n = 40°

_______

β_n = ?

Iz središnjeg kuta možemo saznati koji je to mnogokut.

α_n = 360° / n

40° = 360° / n

n = 9

 

To je deveterokut.

 

β_n = [(n-2) · 180°] / n

β_n = [(9-2) · 180°] / 9

β_n = 140°

Veličina unutrašnjeg kuta pravilnog deveterokuta je 140°.

 

8. Odredi opseg mnogokuta kojem je zbroj svih unutrašnjih kuteva 2340°, ako je duljina njegove stranice 2.5 dm.

K_n = 2340°

a = 2.5 dm

___________

o = ?

Iz formule za zbroj unutrašnjih kuteva možemo saznati o kojem se mnogokutu radi:

K_n = (n-2)·180°

2340° = (n-2)·180° / : 180°

n-2 = 13

n = 15

 

Opseg:

o = n·a

o = 15 · 2.5

o = 37,5 dm

Opseg pravilnog petnaesterokuta je 37,5 dm.

 

9. Površina paralelograma je 56.58 mm², a duljina visine na stranicu a je 0.46 cm. Odredi opseg tog paralelograma ako je duljina druge stranice 8 mm.

P = 56.58 mm²

v_a = 0.46 cm = 4.6 mm

b = 8 mm

______

o = ?

P = a · v_a

56.58 = a · 4.6   /: 4.6

a = 12,3 mm

 

o = 2 · (a+b)

o = 2 · ( 12,3 + 8 )

o = 2 · 20,3

o = 40.6 mm

 

10. Površina trapeza je 38.5 cm², a duljine njegovih osnovica su 84 mm i 56 mm. Kolika je duljina visine tog trapeza ?

P = 38.5 cm²

a = 84 mm = 8.4 cm

b = 56 mm = 5.6 cm

________

v = ?

P = [(a+c)·v]/ 2

38.5 = [(8.4 + 5.6)·v] / 2     /·2   množimo sve s 2

77 = 14·v    /:14

v = 5.5 cm

 

Duljina visine trapeza je 5.5 cm.

 

11.* Koliki je opseg kvadrata čija je površina 0.81 dm² ?

P = 0.81 dm²

_______

o = ?

P = a · a

0.81 = a · a   (Moramo odrediti broj koji pomnožen sam sa sobom daje 0.81)

a = 0.9 dm     (0.9 · 0.9 = 0.81)

 

o = 4·a

o = 4 · 0.9 dm

o = 3.6 dm

 

12.* Dali postoji mnogokut koji ima jednak broj dijagonala i stranica ?

Formula za ukupan broj dijagonala:

D_n = [(n-3)*n] / 2

Zadatak kaže da je D = n, pa umjesto D pišemo n

n = [(n-3)·n]/2  /·2

2n = n·n - 3n

n·n - 3n - 2n = 0

n·n - 5n = 0    Izlučit ćemo zajednički faktor (n)

n·(n-5) = 0    Promatramo za koji n, izraz ima vrijednost 0

 

Ako je n = 5, tada vrijedi:  5*(5-5)=0  --> Zaključujemo da to vrijedi za n = 5, pa je to peterokut.

 

13.* Povećamo li broj stranica nekog mnogokuta (poligona) za 5, broj njegovih dijagonala poveća se za 45. Koji je to poligon ?

D_n+5 = D_n + 45  

[(n+5)·(n+5-3)] / 2 = [n·(n-3)] / 2  + 45    /·2  (množimo sve s 2)

(n+5)·(n+2) = n·(n-3) + 90

n·n + 2n +5n + 10 = n·n - 3n + 90

n·n - n·n + 2n + 5n + 3n = 90 - 10

10n = 80 / :10

n = 8

 

Traženi poligon (mnogokut) je osmerokut.

 

14. Ukupan broj dijagonala u pravilnom mnogokutu je 119. Odredi:

a) kolika je veličina vanjskog kuta

 b) veličinu središnjeg kuta

c) koliki je opseg tog mnogokuta, ako mu je duljina stranice 11 mm

 

D_n = 119

______

a) β_n' = ? (vanjski kut)

 

Iz ukupnog broja dijagonala odredit ćemo koji je to mnogokut:

D_n = [(n-3)·n] / 2

119 = [(n-3)·n] / 2    / · 2

(n-3)·n = 238

Da bismo odredili n, najlakše ga je pogoditi rastavljanjem broja 238 na faktore

238 = 2 · 7 · 17

n = 17   --->  (17-3) · 17 = 238

 

Za određivanje veličine vanjskog kuta prvo moramo odrediti veličinu unutrašnjeg kuta:

β_n = [(n-2)·180°] / n

β_n = [(17-2)·180°] / 17

β_n = 158.82°

 

Zbroj unutrašnjeg i vanjskog kuta je 180°

β_n + β_n' = 180°     

β_n' = 21.18°

 

ILI direktno dobivamo     

β_n' = 360°/n

β_n' = 360°/17

β_n' = 21.18°

 

b)

α_n = 360° / n

α_n = 360° / 17

α_n = 21.18°

 

c)

a = 11 mm

o = n · a

o = 17 · 11

o = 187 mm

 

15. U nekom pravilnom mnogokutu moguće je iz jednog vrha povući 8 dužina tako da im krajevi budu vrhovi mnogokuta. Duljina jedne stranice tog mnogokuta jest 12 dm. Izračunaj opseg tog mnogokuta.

d_n = 8

a = 12 dm

_____

o = ?

Iz formule za broj dijagonala iz jednog vrha možemo saznati koji je to mnogokut

d_n = n - 3

8 = n - 3

n = 11

Opseg

O = n · a

O = 11 · 12

O = 132 dm

 

16. Odredi površinu pravilnog deveterokuta ako mu je duljina stranice 23 mm, a duljina visine karakterističnog trokuta 4.6 cm.

a = 23 mm = 2.3 cm

v = 4.6 cm

____

P = ?

Pravilni deveterokut se sastoji od 9 karakterisitčnih jednakokračnih trokuta. Izračunat ćemo površinu jednog tog trokuta:

 

P₁ = (a·v)/2

P₁ = 2.3·4.6/2

P₁ = 5.29 cm².

 

Ukupnu površinu dobit ćemo tako da povšinu jednog trokuta pomnožimo s (9) [zbrojili smo sve povrišine istih trokuta unutar deveterokuta]

 

P = 9 P₁

P = 9 · 5.29

P = 47.61 cm²

 

17.* Kutevi u četverokutu se odnose kao 2 : 3 : 4 : 1. Odredi zbroj dva najmanja kuta tog četverokuta.

 

Znamo da je zbroj unutrašnjih kuteva četverokuta 360º:

α + β + γ + δ = 360º

 

Kutevi su u odnosu;

α : β : γ : δ = 2 : 3 : 4 : 1

α = 2k

β = 3k

γ = 4k

δ = k

Uvrštavanjem u α + β + γ + δ = 360º dobivamo:

2k + 3k + 4k + k = 360º

10 k = 360º -- > k = 36º

Uvrštavanjem dobivamo:

α = 2k = 72º

β = 3k = 108º

γ = 4k = 144º

δ = k = 36º

Zbroj dva najmanja kuta tog četverokuta je: α + δ = 108º.

 

18.* Površina jednakokračnog trapeza je 12 cm², a osnovice su u omjeru 4 : 1. Ako je duljina visine 3 cm, a duljina kraka 3.8 cm, odredi opseg tog trapeza.

P = 12 cm²

a : c = 4 : 1

v = 3 cm

b = 3.8 cm

_______

o = ?

Iz površine možemo doći do odnosa osnovica:

P = [(a+c)v] / 2

12 = [(a+c)·3]/2   /·2

24 = 3(a+c)     / : 3

a+c = 8

 

a : c = 4 : 1  -->  a = 4 c  (uvrstimo u jednadžbu a + c = 8)

4c + c = 8

5c = 8 / :5

c = 1.6 cm

a = 4c = 6.4 cm

 

Opseg je zbroj svih stranica : o = a + 2b + c

o = 6.4 + 2 · 3.8 + 1.6 = 15.6 cm

 

19. Stranice pravokutnika su duge a = 10 cm i b = 5 cm. Ako a stranicu skratimo 30 %, a stranicu b produljimo 30 %, za koliko će se promijeniti opseg i površina tog pravokutnika ?

Prvo ćemo odrediti opseg i površinu početnog (zadanog) pravokutnika:

o = 2(a+b)

o = 2(10+5)

o = 30 cm

 

P = ab

P = 10 · 5

P = 50 cm²

 

Ako promijenimo duljine stranica dobivamo:

a₁ = a - 0.3 a = 0.7 a = 0.7 · 10 = 7 cm

b₁ = b + 0.3 b = 1.3 b = 1.3 · 5 = 6.5 cm

 

o₁ = 2(a₁ + b₁) = 2(7 +6.5)=27 cm

p₁=a₁ · b₁=7 · 6.5 = 45.5 cm²

 

Opseg i površina će se smanjiti; opseg za 3 cm, a površina za 4.5 cm².

 

20.Razmisli te ako je tvrdnja točna zaokruži T, u suprotnom N.

a) Opseg pravilnog osmerokuta je 32 cm. Duljina njegove stranice je onda 4 cm. T - N

b) Iz jednog vrha mnogokuta mouće je povući 24 dijagonale. To je mnogokut sa dvdestet i jednom stranicom. T - N

c) Dijagonale kod pravokutnika se sijeku pod pravim kutem. T - N

d) Površina pravilnog peterokuta je 100 cm². Površina njegovog karakterističnog trokuta je 20 cm². T - N

e) Mnogokut sa 20 vrhova ima 20 dijagonala. T - N

f) Veličina vanjskog kuta pravilnog n-terokuta uvijek je jednaka velični središnjeg kuta. T - N

g) Veličina unutrašnjeg kuta pravilnog mnogokuta sa 34 vrha je 164°. T - N

 

Odgovori:

a) Opseg pravilnog osmerokuta je 32 cm. Duljina njegove stranice je onda 4 cm. T - N

O = n a --> 32 = 8 · 4   ---> 32 = 32

b) Iz jednog vrha mnogokuta mouće je povući 24 dijagonale. To je mnogokut sa dvdestet i jednom stranicom. T - N

d_n = n - 3

24 = n - 3   --> n = 27

c) Dijagonale kod pravokutnika se sijeku pod pravim kutem. T - N

Dijagonale su međudosbno okomite samo kod kvadrata i romba.

d) Površina pravilnog peterokuta je 100 cm². Površina njegovog karakterističnog trokuta je 20 cm². T - N

P_peterokut = 5 P_{karak. trokut}

P _karak.trokut = 100 : 5 = 20 cm²

e) Mnogokut sa 20 vrhova ima 20 dijagonala. T - N

Ne! Po formuli za ukupan broj dijagonala dobivamo 170 dijagonala.

f) Veličina vanjskog kuta pravilnog n-terokuta uvijek je jednaka velični središnjeg kuta. T - N

Usporedi formule!

g) Veličina unutrašnjeg kuta pravilnog mnogokuta sa 34 vrha je 164°. T - N

Uvrštavanjem u formulu dobivamo 169.4º.

 

 

* Zadaci za naprednije učenike.