Matematika

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

$displaystyle y'+p(x)  y=q(x).$ (1)

Rješenje jednadžbe je
$displaystyle y=frac{1}{mu(x)}  left[ int q(x)  mu(x)  dx+ Cright], qquad mu(x)=e^{int p(x)  dx}.$ (2)

Ako je $ q(x)=0$, jednadžba je homogena,

$displaystyle y'+p(x)  y=0. $
Ovo je jednadžba sa separiranim varijablama:
$displaystyle frac{dy}{y}=-p(x)  dx. $
Dakle,
$displaystyle ln y=-int p(x)  dx+ln C, $
odnosno rješenje homogene jednadžbe glasi
$displaystyle y=C  e^{-int p(x)  dx}. $

U nehomogenom slučaju, jednadžba (1) je ekvivalentna s

$displaystyle dy + [p(x)  y -q(x)]  dx=0. $
Iz
$displaystyle frac{dmu}{mu}= frac{P'_y-Q'_x}{Q}  dx=frac{p(x)-0}{1}  dx=p(x)  dx $
zaključujemo da je integrirajući faktor dan s
$displaystyle mu(x)=e^{int p(x)  dx}. $
Množenjem jednadžbe (1) integrirajućim faktorom imamo
$displaystyle e^{int p(x)  dx} y'+e^{int p(x)  dx} p(x)  y= e^{int p(x)  dx} q(x). $
Formula za deriviranje produkta daje
$displaystyle left[e^{int p(x)  dx} yright]'=e^{int p(x)  dx} q(x), $
a integriranje daje
$displaystyle e^{int p(x)  dx} y= int e^{int p(x)  dx} q(x)  dx+C $
i formula (2) je dokazana.
Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (1)


gost kaže:

0
Zdravo,
Ne mogu nigdje naci kako se moze nadomjestiti Lipsicov uslov pa me zanima moze li mi iko pomoci?
 
22.04.2012
Glasovi: +1

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Ponedjeljak, 21 Veljača 2011 09:52)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 89