Počinjemo od stacionarne Schrodingerove jednadžbe.

Pišemo h za reduciranu Plankcovu konstantu.

 

-h²/2m d²/dx² Ψ(x)+V(x)Ψ(x) =EΨ(x),

 

gdje je Ψ(x) valna funkcija, V(x) potencijal, E energija, a m masa elektrona.

 

Elektron se nalazi između dva beskonačna potencijala, između točaka x=0 i x=L.

 

Znači,

 

V(x)=0, za 0

V(x)=∞, za ostale točke.

 

Elektron ne može biti u području beskonačnog potencijala jer bi mu energija divergirala.

Znači rubni uvjeti su,

Ψ(0)=Ψ(L)=0

 

Rješavamo Schrodingerovu jednadžbu u području 0

-h²/2m d²/dx² Ψ(x)=EΨ(x),

 

podjelimo obe strane jednadžbe s -h²/2m.

 

d²/dx² Ψ(x) =-2m/h²EΨ(x)

 

Nazovemo, k=√(2mE/h²).

 

Tada gornja jednadžba ima opće poznato rješenje,

 

Ψ(x)=Acoskx+Bsinkx

 

Iskoristimo rubne uvjete,

Ψ(0)=Acos0+Bsin0=A=0

Ψ(L)=AcoskL+BsinkL

(gore, A=0)

Ψ(L)=BsinkL=0

iz čega dobivamo,

 

sinkL=0 (da smo stavili B=0 rješenje bi bilo trivijalno jer ne bi bilo čestice u jami),

tj.

kl=nπ, gdje je n cijeli broj.

Znači imamo prebrojivo beskonačno k koji zadovoljavaju preko valne funkcije rubne uvjete.

Uvrstimo od gore k preko energije i dobivamo,

E_n=n²π²h²/(2mL²).

Time smo odredili energetska stanja elektrona u beskonačnoj potencijalnoj jami.

 

Sad nam valne funkcije glase,

Ψ_n(x)=Bsin(nπ/L x), za 0

=0, drugdje

 

Kako modul kvadrata valne funkcije (prema Bornovom pravilu) se interpretira kao gustoća vjerojatnost za nalaženje čestice u nekom volumenu, možemo normirati valne funkcije da dobijemo B.

 

∫_0^LΨ²_n(x)dx=∫B²sin²(πn/Lx)=1

Nakon jednostavne integracije, dobijemo,

 

B²L/2=1,

tj.

B=√(2/L)