Matematika

Dvostruki integral

Dvostruki integral računamo uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala pomoću Newton-Leibnitzove formule. Opisat ćemo postupak integriranja u slučajevima kada je područje integracije:

  • pravokutno,
  • omeđeno dvjema neprekidnim funkcijama, i
  • zadano u polarnim koordinatama.

 

 

Teorem 4.1 Neka je $ f:Ktomathbb{R}$ neprekidna funkcija definirana na pravokutniku $ K=[a,b]times [c,d]$. Tada je
$displaystyle iintlimits_{K} f(x,y)  dx  dy= intlimits _c^dbigg( intli... ...xbigg)  dy= intlimits _a^bbigg( intlimits _c^d f(x,y)  dybigg)  dx. $

Dokaz teorema se temelji na svojstvu da kod dvostrukih suma možemo zamijeniti poredak zbrajanja, odnosno

$displaystyle sum_{i=1}^msum_{j=1}^n a_{ij} = sum_{i=1}^m bigg(sum_{j=1}^n... ...um_{j=1}^n bigg(sum_{i=1}^n a_{ij} bigg) = sum_{j=1}^nsum_{i=1}^m a_{ij}. $
Detalje dokaza izostavljamo.

 

 

Primjer 4.2 Izračunajmo
$displaystyle I=iintlimits_{K} x  y^2   dx  dy $
pri čemu je $ K=[a,b]times [c,d]$. Prema teoremu 4.1 vrijedi
$displaystyle I$ $displaystyle = intlimits _a^b bigg(intlimits _c^d x  y^2   dybigg)  d... ...gg]   dx = intlimits _a^b x  bigg( frac{d^3}{3}-frac{c^3}{3}bigg)   dx$
$displaystyle = frac{1}{3} (d^3-c^3) frac{x^2}{2}   biggvert _a^b = frac{1}{6}  (d^3-c^3)(b^2-a^2).$

Isti rezultat dobit ćemo i pomoću integrala
$displaystyle I=intlimits _c^d bigg(intlimits _a^b x  y^2   dxbigg)  dy. $

 

 

Napomena 4.1 Iz primjera 4.2 vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim po drugoj varijabli, pri čemu rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Slično vrijedi i kada područje integracije nije pravokutnik, kao i kod viših dimenzija.

 

 

Napomena 4.2 Integral iz primjera 4.2 je integral sa separiranim varijablama, odnosno može se rastaviti na produkt dva jednostruka integrala, što općenito nije slučaj:
$displaystyle intlimits _a^b bigg(intlimits _c^d x  y^2   dybigg)  dx=intlimits _a^b x  dxcdot intlimits _c^d y^2  dy. $

Ako je područje integracije $ D$ zadano dvama neprekidnim funkcijama,

$displaystyle D={(x,y):   aleq xleq b,  g(x)leq yleq h(x)}, $
tada je
$displaystyle iintlimits_D f(x,y)  dx  dy= intlimits _a^b bigg( intlimits _{g(x)}^{h(x)} f(x,y)  dy bigg)   dx. $

 

 

Primjer 4.3  Izračunajmo integral
$displaystyle I=iintlimits_D (x+y^2)  dx  dy, $
pri čemu je $ D$ područje omeđeno funkcijama $ y=x^2$ i $ y=x^4$. Za određivanje granica integracije potrebno je skicirati područje $ D$, što je napravljeno na slici 4.2.

 


begin{figure}begin{center} epsfig{file=slike/vi25,width=8.0cm} end{center}end{figure}

Vidimo da je

$displaystyle D={(x,y):   -1leq xleq 1,  x^4leq yleq x^2} $
pa je
$displaystyle I$ $displaystyle = intlimits _{-1}^1 bigg( intlimits _{x^4}^{x^2} (x+y^2)  d... ...  dx= intlimits _{-1}^1 bigg[ xy +frac{y^3}{3}  bigg]_{x}^{x^2}    dx$
$displaystyle =intlimits _{-1}^1 bigg( x^3 +frac{x^6}{6} -x^5 -frac{x^{12}... ...rac{x^7}{21}-frac{x^5}{6} -frac{x^{13}}{39}  bigg]_{-1}^{1} = frac{4}{91}.$

No, prema napomeni 4.1 i svojstvu V2, integral možemo riješiti i integrirajući prvo po varijabli $ x$. Područje $ D$ rastavljamo na uniju dva disjunktna područja $ D_1$ i $ D_2$, gdje je
$displaystyle D_1$ $displaystyle ={(x,y):   0leq yleq 1,  -sqrt[4]{y}leq x leq -sqrt{y}},$
$displaystyle D_2$ $displaystyle ={(x,y):   0leq yleq 1,  sqrt{y}leq x leq sqrt[4]{y}},$

pa je
$displaystyle I=intlimits _{0}^1 bigg( intlimits _{-sqrt[4]{y}}^{-sqrt{y... ...limits _{sqrt{y}}^{sqrt[4]{y}} (x+y^2)  dxbigg)  dy =cdots=frac{4}{91}. $
Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (3)


gost kaže:

0
...
smilies/shocked.gif ko uspe da mi objasni ovo dobije sta oce od mene smilies/shocked.gif
 
20.02.2012
Glasovi: +0

gost kaže:

6766
...
ja ne kapiram nista ovde smilies/cry.gif
 
20.02.2012
Glasovi: +0

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Utorak, 03 Svibanj 2011 19:08)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 174 i Članova: 1