Jednadžba tangente elipse b²x²+a²y²=a²b² u točki D(x₁,y₁) glasi b²x₁x+a²y₁y=a²b²

Normala je okomita na tangentu pa ćemo koeficijent smjera normale naći prema uvjetu okomitosti: k_n=-1/k_t. Da bi odredili jednadžbu normale izračunati koeficijent smjera normale i koordinate točke D ćemo uvrstiti u jednadžbu pravca kroz 1 točku: y-y₁=k(x-x₁).

PRIMJER: Odredimo jednadžbu tangente t i normale n elipse e... x²+4y²=20 u točki

               D(-4,-1).

               Odmah uočavamo da je a²b²=4, a 4≠20 pa jednadžbu prebacujemo iz  

               općeg u segmentni oblik x²/a²+y²/b²=1

               x²+4y²=20   /:20

               x²/20 + 4y²/20 =1   →  skratimo 4 i 20

               x²/20 + y²/5=1   →  segmentni oblik jednadžbe elipse

               Vidimo da je a²=20, a b²=5

               Sada koristimo formulu za jednadžbu tangentu u točki elipse:

               b²x₁x+a²y₁y=a²b²

               5·(-4)x+20·(-1)·y=20·5

               -20x-20y=100

               -20y=20x+100  /: (-20)

                y=-20x/20 - 100/20

                y=-x-5   → jednadžba tangente 

                    ↓

                  k=-1

Koeficijent smjera tangente je -1, a normale k_n=-1/k_t=-1/-1=1

Jednadžbu normale ćemo izračunati preko formule za jednadžbu pravca kroz 1 točku

                y-y₁=k(x-x₁)

                y+1=1(x+4)

                y+1=x+4

                y=x+4-1

                y=x+3  → jednadžba normale

Naslov

Komentar

manje | veće

Dodaj kometar