Postupak za izračunavanje ekstrema funkcija više varijabli:

 

1.  Naći: z_x → derivirati ono što ima x

               z_y → derivirati ono što ima y

2.  Prvu derivaciju izjednačiti sa 0 i naći rješenja (x i y)

3.  Naći: z_xx → derivirati ono što ima x u z_x → A

               z_xy → derivirati ono što ima x u z_y → B

               z_yy → derivirati ono što ima y u z_y → C

4.  Izračunati: D=AC-B²

          -  D<0 → nema ekstrema

          -  D>0 → ima ekstrema:   A>0 → min

                                                    A<0 → MAX

 

Primjer: Odredimo ekstreme funkcije z = 2x³ - 6x + 6y² + 1

 

Korak 1. Nađemo 1. derivaciju (z_x i z_y)

              z = 2x³ - 6x + 6y² + 1

 

              z_x → deriviramo samo gdje je x                    z_y → deriviramo samo gdje je y

              z_x = 2·3x^3-1 - 6·1                                          z_y = 6·2y^2-1

              z_x = 6x²-6                                                     z_y = 12y

 

Korak 2. Prvu derivaciju izjednačimo sa 0 i nađemo rješenja (x i y)

               6x² - 6 = 0                                                    12y = 0  / :12

                    6x² = 6   / :6                                                y = 0

                      x² = 1   /√

                        x = ± 1    →    x₁ = 1

                                               x₂ = -1

 

Korak 3. Nađemo drugu derivaciju (z_xx, z_xy, z_yy)

               z_xx → deriviramo gdje imamo x u z_x                z_x = 6x²-6

               z_xx = 6·2x^2-1

               z _xx = 12x

               Da bi dobili A uvrštavamo x₁ = 1 i x₂ = -1. Imati ćemo A₁ i A₂.

               z_xx = 12·1 = 12 → A₁

               z_xx = 12·(-1) = -12 → A₂

 

               z_xy → deriviramo gdje imamo x u z_y                z_y = 12y

               z_xy = 0 (nemamo x u z_y) → B

 

               z_yy → deriviramo gdje imamo y u z_y                  z_y = 12y

               z_yy = 12·1

               z_yy = 12 → C

 

Korak 4. Izračunamo D = A·C - B²

              D₁ = A₁C - B² = 12 · 12 - 0 = 144 > 0 ima ekstrema

                                                min (1,0)

Objašnjenje: Dobili smo da je D₁>0 što znači da ima ekstrema . Vidimo da je A₁>0 što znači da imamo minimum. Minimum ima koordinate m(1,0) jer nam je x₁=1, a y=0.

 

              D₂ = A₂C - B² = -12 · 12 - 0 = -144 < 0 nema ekstrema.