Jedan od osnovnih zadataka matematike u njezinim začecima bio je problem mjerenja dužina, površina i obujama. Ako znamo duljine dviju stranica a i b pravokutnika, tada znamo izračunati i njegovu površinu koja je jednaka a·b. Transformacijom pravokutnika možemo izmjeriti površinu paralelograma, trokuta, pa i mnogokuta jer se on može podijeliti na disjunktne trokute.

Slika 1. Povlačeći dijagonale iz jednog vrha, svaki se mnogokut može prikazati kao unija trokuta

Međutim, na ovaj se način ne može mjeriti površina lika kojemu je rub opisan nekom glatkom krivuljom. Već pri izvodu formule za površinu kruga moramo se koristiti aproksimacijama. Arhimed je računao površinu kruga upisujući i opisujući mu pravilne mnogokute.

Slika 2. Upisivanje pravilnih mnogokuta u krugove

Povećavajući im broj stranica, računao je površinu kruga sa zadovoljavajućom točnošću. Upisujući krugu pravilni 96-terokut našao je aproksimaciju

Kroz povijest su matematičari na različite načine računali površine raznih likova i volumene mnogih tijela, primjenjujući metode koje su bile prilagođene konkretnom liku ili tijelu. Tek je krajem 17. stoljeća problem računanja površine i obujama riješen analitičkim, a ne geometrijskim, metodama time što je uspostavljena njegova veza s diferencijalnim računom.

Horizontalnim i vertikalnim cijepanjem svaki lik možemo podijeliti na dijelove poput onog nacrtanog na slici 2. Takav lik nazivamo krivocrtni trapez, jer su tri njegove stranice poput stranica trapeza, a četvrta stranica je opisana lukom krivulje.

Slika 3. Cijepanjem se svaki lik može prikazati kao unija krivocrtih trapeza

Na taj način možemo problem računanja površine ravninskog lika dovesti u vezu s problemom računanja površine krivocrtnog trapeza ispod grafa neke funkcije.

Naslov

Komentar

manje | veće

Dodaj kometar