Matematika

 

Kvadratna jednadžba je oblika      ax^2 + bx + c = 0 , gdje su a,b,c realni brojevi i a je različit od nule, inače bi imali    bx + c = 0 (linearnu jednadžbu).

Svako rješenje x koje zadovoljava ovu gornju jednadžbu zove se rješenje kvadratne jedandžbe.

a  je vodeći koeficijent, b je linearni koeficijent, c je slobodni koeficijent.

Ako se kvadratna jednadžba može zapisati u obliku

(x - x1)(x - x2) = 0 ,   onda su njezina rješenja brojevi x1 i x2.

 

Primjer : x^2 - 5x + 6 = 0  

              Ova kvadratna jednadžba se može zapisati u gornjem obliku i izgleda ovako

             (x - 2 )(x - 3)=0   (Provjeri da je to stvarno zadana kvadratna jednadžba)

             Ovaj postupak se zove faktorizacija!

             Sada možemo odmah vidjeti koja su rješenja : x1 = 2 , x2 = 3.

 

Primjer : x^2 + x - 2 = 0

             (x - 1)(x + 2)= 0

             Rješenja su x1 =1 , x2= -2  [vidimo da je predznak minus jer smo mogli ovo

             zapisati kao ( x - 1)(x - (-2)) =0. ]

 

Primjer : x^2 - 4x +4 =0

              (x - 2)(x - 2)=0

              (x - 2 ) ^2 = 0

             Rješenja su x1=2 i x2 =2 odnosno imamo samo jedno dvostruko rješenje, a  

              to je x =2.

             Ovakve kvadratne trinome nazivamo potpuni kvadrati.

 

Kvadratna jednadžba oblika ax^2 + bx + c = 0  ima dva rješenja, a to su

x1 = (-b + korijen(b^2 - 4ac) ) / 2a

x2 = (-b - korijen(b^2 - 4ac) ) / 2a

Vidimo da se ova dva rješenja razlikuju samo u predznaku koji stoji ispred korijena.

 

Diskriminanta kvadratne jednadžbe ax^2 + bx + c = 0  je broj koji se nalazi ispod korijena kod rješenja tj. to je  b^2 - 4ac.

D = b^2 - 4ac .

Ako je  D > 0 , jednadžba ima dva realna  rješenja , x1 i x2 .

Ako je  D = 0 , jednadžba ima jedno dvostruko rješenje.

Ako je D < 0 , jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja.

 

Primjeri :a) 2x^2 - 5x +3 = 0, a =2 , b = -5 , c =3

                   D = b^2 - 4ac

                   D = (-5)^2 - 4 * 2 *3 = 25 - 24 = 1 > 0

                   D > 0 pa imamo dva realna rješenja x1 i x2.

                   x1 = (-b + korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                   x1 = (5 + korijen ( 25 - 24) ) / 4 = 3/2

                   x2 = (-b - korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                   x2 = (5  - korijen (25 -24) ) / 4 = 1

             b) 2x^2 +3x +5 = 0, a = 2 , b =3, c = 5

                 D = b^2 - 4ac

                 D = 3^2 - 4 * 2 * 5 = 9 - 40 = -31 < 0

                 D < 0  pa imamo kompleksno konjugirana rješenja

                 x1 = (-b + korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                 x1 = ( -3 + korijen (9 - 40)  ) / 4 = (-3 + korijen (-1 * 31) ) / 4 =

                      = (-3 + i * korijen (31) ) / 4

 

                 x2 = (-b - korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                 x2 = ( -3 - korijen (9 - 40)  ) / 4 = (-3 - korijen (-1 * 31) ) / 4 =

                      = (-3 - i * korijen (31) ) / 4

             c) 4x^2 +12 + 9 = 0 , a = 4, b = 12, c = 9

                 D = b^2 - 4ac

                 D= 12^2 - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0

                 D = O  pa imamo jedno dvostruko rješenje

                 x1 =(-b + korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                 x2 = (-b - korijen(b^2 - 4ac)) / 2a

                Kako nam je ono pod korijenom jednako nuli imamo

                x1 = -b /2a

                x1 = -12 / 8 = - 3 /2

                x2= -b / 2a

                x2 = -3 / 2

                Vidimo da su x1 i x2 isti.

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (6)


gost kaže:

0
...
rm,jnuiewth urehtjihttrh tz
 
07.11.2012
Glasovi: -4

gost kaže:

0
...
x2=1936?
16
kao to ide ovo x2 je razloimak : x na kvadrat (kroz) razloma?ka crta 16
 
04.11.2013
Glasovi: +1

gost kaže:

0
...
Dajte jos zadatakasmilies/smiley.gif
 
20.01.2015
Glasovi: +1

gost kaže:

26.01.2017
Glasovi: +2

gost kaže:

26.06.2018
Glasovi: +7

gost kaže:

0
...
Za koje vrijednosti parametra p jednadžba ????^2 + 3???? + 2???? = 0 ima dva razli?ita realna rješenja?
 
16.06.2020
Glasovi: +1

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Petak, 26 Listopad 2012 14:27)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 188 i Članova: 2