Svojstva i računanje s elementarnim funkcijama:

1) Graf linearne funkcije y = a ⋅ x + b , a ≠ 0 , je pravac u ravnini, kao na slici (slučajevi kad je a > 0 i a < 0 ):

Svojstva linearne funkcije y = a ⋅ x + b , a ≠ 0 , su sljedeća:
- D( f ) = (−∞,∞) , R( f ) = (−∞,∞) ;
- rastuća ako je a > 0 , padajuća ako je a < 0 ;
- neparna ako je b = 0 , injektivna;
- ima inverznu funkciju f^-1(x)=1/a*(x-b)
- nultočka x = − b/a.

2) Graf kvadratne funkcije y = a ⋅ x² + b ⋅ x + c , a ≠ 0 , je parabola u ravnini, kao na slici (slučajevi kad je a > 0 i a < 0 ):

Svojstva kvadratne funkcije y = a ⋅ x² + b ⋅ x + c , a ≠ 0 , su sljedeća:

D( f ) = (−∞,∞) , R(f)=(c-b2/4a,∞) za a>0, ili R(f)=(-∞,c-b2/4a) za a<0
- konveksna ako je a > 0 , okrenuta ka gore;
- konkavna ako je a < 0 , okrenuta ka dolje;
- parna ako je b = 0 , niti parna niti neparna za b ≠ 0 ;
- nije injektivna, pa nema inverznu funkciju;
- nultočke x_1,2=(-b±(b²-4ac)^1/2)/2a

3) Graf kubne funkcije y = x³ je krivulja u ravnini, kao na slici:

Svojstva kubne funkcije y = x³ su sljedeća:
- D( f ) = (−∞,∞) , R( f ) = (−∞,∞) ;
- rastuća;
- konkavna na (−∞,0] i konveksna na [0,∞) ;
- neparna, injektivna;
- ima inverznu funkciju f ⁻¹(x) = x^1/3 ;
- nultočke x = 0 .

4) Graf racionalne funkcije y=1/(x-b) je krivulja u ravnini, kao na slici:

Svojstva racionalne funkcije y=1/(x-b) su sljedeća:

D( f ) = (−∞,b)∪(b,∞) , R( f ) = (−∞,0)∪(0,∞) ;
- padajuća na intervalu (−∞,b) , padajuća na intervalu (b,∞) ;
- konkavna na intervalu (−∞,b) , konveksna na intervalu (b,∞) ;
- niti parna niti neparna, injektivna;
- ima inverznu funkciju
f ^-1(x)=( b⋅x +1)/x  ;
- nema nultočaka;
- vertikalna asimptota x = b , horizontalna asimptota y = 0 .

5) Graf eksponencijalne funkcije y = e^x je krivulja u ravnini, kao na slici:

Svojstva eksponencijalne funkcije y = e^x su sljedeća:
- D( f ) = (−∞,∞) , R( f ) = (0,∞) ;
- rastuća, konveksna;
- injektivna;
- ima inverznu funkciju f ⁻¹(x) = ln x ;
- nema nultočaka;
- lijeva horizontalna asimptota y = 0 ;
- e^{x1 +x2} = e^x1 ⋅ e^x2 ∀x₁ x ₂∈R

6) Graf trigonometrijske funkcije y = sin x je sinusoida u ravnini, kao na slici:

Svojstva trigonometrijske funkcije y = sin x su sljedeća:
- D( f ) = (−∞,∞) , R( f ) = [−1,1] ;
- rastuća na [-π/2+2kπ,π/2+2kπ], padajuća na [π/2+2kπ,3π/2+2kπ]
- konkavna na [2kπ ,π + 2kπ ] , konveksna na[(2k +1)π ,(2k + 2)π ] ;
- neparna, nije injektivna, periodička sa periodom T = 2π ;
- nema inverznu funkciju;
- nultočke x_k = kπ .

7) Graf trigonometrijske funkcije y = cos x je sinusoida u ravnini, kao na slici:

Svojstva trigonometrijske funkcije y = cos x su sljedeća:

-D( f ) = (−∞,∞) , R( f ) = [−1,1] ;
- rastuća na [−π + 2kπ ,2kπ ] , padajuća na [2kπ ,π + 2kπ ] ;

-konkavna na [-π/2+2kπ,π/2+2kπ], padajuća na [π/2+2kπ,3π/2+2kπ];

-parna, nije injektivna, periodička s periodom T = 2π ;
- nema inverznu funkciju;
- nultočke x_k=π/2kπ.

8) Graf trigonometrijske funkcije y=tg(x)=sinx/cosx je krivulja u ravnini, kao na slici:

Svojstva trigonometrijske funkcije y = tg x su sljedeća:

- D(f)=(−∞ ∞/U(π/2+kπ), R( f ) = (−∞,∞) ;

- rastuća na [-π/2+2kπ,π/2+2kπ],

-konkavna od [-π/2+kπ,kπ], konveksna od [kπ,π/2+kπ];

- neparna, nije injektivna, periodička s periodom T =π ;
- nema inverznu funkciju;
- nultočke x_k = kπ ;

Naslov

Komentar

manje | veće

Dodaj kometar