Trostruki integrali

postauthoriconAutor Lovro | Ispis

Trostruki integral

Trostruki integral neprekidne funkcije $ f:Dto mathbb{R}$, $ Dsubseteq mathbb{R}^3$, računamo slično kao i dvostruki integral. Ako je područje integracije kvadar,

$displaystyle D=[a,b]times [c,d]times [e,g], $
tada je
$displaystyle iiintlimits_D f(x,y,z) dx dy dz= intlimits _a^b bigg[ intlimits _c^d bigg( intlimits _e^g f(x,y,z) dzbigg) dybigg] dx, $
pri čemu je $ dV=dx dy dz$ element volumena. Kao i u slučaju dvostrukog integrala, mogući su i drugi redoslijedi integriranja.

Ako je područje $ D$ određeno relacijama

$displaystyle a$ $displaystyle leq xleq b,$
$displaystyle h_1(x)$ $displaystyle leq yleq h_2(x),$
$displaystyle g_1(x,y)$ $displaystyle leq yleq g_2(x,y),$

tada je
$displaystyle iiintlimits_D f(x,y,z) dV = intlimits _a^b bigg[ intlimit... ...bigg( intlimits _{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z) dzbigg) dybigg] dx. $
Tipične primjene trostrukog integrala su sljedeće:
  • ako je $ f(x,y,z)$ gustoća tijela koje zaprema područje $ D$ u točki $ T=(x,y,z)$, tada je trostruki integral $ iiint_D f(x,y,z) dV$ jednak masi tog tijela;
  • ako je $ f(x,y,z)=1$, tada trostruki integral daje volumen područja $ D$4.4,
    $displaystyle V(D)=iiintlimits_D dV = intlimits _a^b intlimits _{h_1(x)}^{h_2(x)} intlimits _{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} dz dy dx. $

Ažurirano (Utorak, 03 Svibanj 2011 19:08)